Question

拋物線的準線與軸交于點，點在拋物線對稱軸上，過可作直線交拋物線于點、，使得，則的取值范圍是      ．

Answer 1

試題分析：由題意可得A（0，-2），直線MN的斜率k存在且k≠0，
設直線MN的方程為y=kx-2，聯立方程組，得x²-8kx+16=0，
設M （x₁，x₂），N（x₂，y₂），MN 的中點E（x₀，y₀），
則△=64k²-64＞0，即k²＞1，
x₁+x₂=8k，y₁+y₂=k（x₁+x₂）-4=-4+8k²，
∴x₀=4k，y₀=-2+4k²即E（4k，-2+4k²）．
∵，
∴，即，而，
∴BE⊥MN即點B在MN的垂直平分線上，
∵MN的斜率為k，E（4k，-2+4k²）．
∴MN的垂直平分線BE的方程為：y-4k²+2=-（x-4k），與y軸的交點即是B，
令x=0可得，y=2+4k²，
則||=2+4k²＞6．
故答案為（6，+∞）．
點評：中檔題，本題主要考查了平面向量的線性運算、數量積，直線與拋物線的位置關系。在研究過程中運用方程的根與系數關系，使問題得到簡化。