Question

如圖,攝影愛好者在某公園A處,發現正前方B處有一立柱,測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°,已知攝影愛好者的身高約為米(將眼睛S距地面的距離SA按米處理).

(1)求攝影愛好者到立柱的水平距離AB和立柱的高度OB.
(2)立柱的頂端有一長為2米的彩桿MN,且MN繞其中點O在攝影愛好者與立柱所在的平面內旋轉.在彩桿轉動的任意時刻,攝影愛好者觀察彩桿MN的視角∠MSN(設為θ)是否存在最大值?若存在,請求出∠MSN取最大值時cosθ的值;若不存在,請說明理由.

Answer 1

(1) AB為3米   OB為2米  (2) 當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.

(1)如圖,作SC⊥OB于C,

依題意∠CSB=30°,∠ASB=60°.
又SA=,故在Rt△SAB中,可求得AB==3,
即攝影愛好者到立柱的水平距離AB為3米.
在Rt△SCO中,SC=3,∠CSO=30°,OC=SC·tan  30°=,
又BC=SA=,故OB=2,即立柱的高度OB為2米.
(2)方法一:如圖,以O為原點,以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系,連接SM,SN,

設M(cosα,sinα),α∈[0,2π),
則N(-cosα,-sinα),由(1)知S(3,-).
故=(cosα-3,sinα+),
=(-cosα-3,-sinα+),
∵·=(cosα-3)·(-cosα-3)+(sinα+)·(-sinα+)=11.
||·||=·

=·

=
=.
由α∈[0,2π)知||·||∈[11,13].
所以cos∠MSN=∈[,1],易知∠MSN為銳角,
故當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.
方法二:∵cos∠MOS=-cos∠NOS,
∴=-
于是得SM²+SN²=26從而
cosθ=≥=.
又∠MSN為銳角,
故當視角∠MSN取最大值時,cosθ=.