Question

已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)E、F的坐標(biāo)分別為（-1，0）、（1，0），動點(diǎn)A滿足|

AE

|=3|

EF

|，N為AF的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段AE上，

MN

•

AF

=0．
（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡W的方程；
（Ⅱ）點(diǎn)P(

m

2

，  y0)在軌跡W上，直線PF交軌跡W于點(diǎn)Q，且

PF

=λ

FQ

，若

3

4

≤λ≤1，求實(shí)數(shù)m的范圍．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）求點(diǎn)M的軌跡W的方程，就是找點(diǎn)M所滿足的條件，把點(diǎn)M所滿足的幾何約束條件轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式．
對于（Ⅱ）由已知的向量等式轉(zhuǎn)化為代數(shù)等式，消y₀用λ的范圍來求實(shí)數(shù)m的范圍．

解答：解：（Ⅰ）∵N為AF的中點(diǎn)，且

MN

•

AF

=0，
∴MN垂直平分AF．（1分）
又點(diǎn)M在線段AE上，
∴|

AM

|+|

ME

|=|

AE

|=3|

EF

|=6．|

MA

|=|

MF

|．
∵|

ME

|+|

MF

|=2×3=6＞|

EF

|，（4分）
∴點(diǎn)M的軌跡W是以E、F為焦點(diǎn)的橢圓，且半長軸a=3，
半焦距c=1．（5分）
∴b²=a²-c²=3²-1=8．
∴點(diǎn)M的軌跡W的方程為

x2

9

+

y2

8

=1．（7分）
（Ⅱ）設(shè)Q（x₁，y₁），
∵P(

m

2

，y0)，

PF

=λ

FQ

，
∴

1- m 2 =λ(x1-1) -y0=λy1.

∴

x1= 1 λ (λ+1- m 2 ) y1=- 1 λ y0.

（9分）
由點(diǎn)P、Q均在橢圓W上，
∴

1 9 ( m 2 )2+ 1 8 y 2 0 =1 1 9λ2 (λ+1- m 2 )2+ y 2 0 8λ2 =1.

（11分）
消去y₀并整理，得λ=

10-m

8

，
∵

3

4

≤λ≤1，∴

3

4

≤

10-m

8

≤1．
解得2≤m≤4．（14分）

點(diǎn)評：向量的坐標(biāo)表示，實(shí)際是向量的代數(shù)表示．在引入向量的坐標(biāo)表示后，可使向量運(yùn)算完全代數(shù)化，將數(shù)與形緊密的結(jié)合了起來