Question

已知雙曲線的方程為16x²-9y²=144．
（1）求雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線方程；
（2）求以雙曲線的中心為頂點(diǎn)，左頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程．

Answer 1

分析：（1）將雙曲線化成標(biāo)準(zhǔn)方程，得

x2

9

-

y2

16

=1，從而算出a、b、c值，進(jìn)而可得焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線方程；
（2）由雙曲線的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-3，0），設(shè)拋物線方程為y²=-2px（p＞0），可得

p

2

=3從而算出2p=12，可得所求拋物線的方程．

解答：解：∵雙曲線的方程為16x²-9y²=144
∴化雙曲線為標(biāo)準(zhǔn)方程，可得

x2

9

-

y2

16

=1，…（1分）
（1）∵a=3，b=4，∴c=

a2+b2

=5，

c

a

=

5

3

，

a2

c

=

9

5

∴此雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（±5，0），離心率為

5

3

，
準(zhǔn)線方程為x=±

9

5

．　 …（7分）
（2）∵雙曲線的中心為（0，0），左頂點(diǎn)為（-3，0），
∴所求拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），焦點(diǎn)為（-3，0）
設(shè)拋物線方程為y²=-2px（p＞0），可得

p

2

=3，2p=12
∴所求拋物線的方程為y²=-12x．  …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題給出雙曲線的方程，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率和準(zhǔn)線，并依此求另一拋物線的方程，著重考查了拋物線、雙曲線的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．