Question

（理）已知f（x）是定義在R上的不恒為零的函數，且對于任意非零的實數a，b∈R，滿足f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，f(2)=

1

2

，an=

f(2n)

n

(n∈N*)，bn=2nf(2n)(n∈N*)，考查下列結論：
（1）f（1）=f（-1）；     （2）f（x）為偶函數；
（3）數列{a_n}為等比數列； （4）數列{b_n}為等差數列．
其中正確的是

 

．

Answer 1

分析：給a、b賦值，使它們都等于1，再使它們分別等于-1，1，得到結論（1）正確，把第三個條件兩邊同乘n化為整式形式，用第一個式子逐漸展開，得到等比數列，通過第二步整理，可得第三個結論正確．

解答：解：∵取a=b=1，可得f（1）=0，
取a=-1，b=1，可得f（-1）=0，
∴f（-1）=f（1），
即（1）正確，
∵f(a•b)=

f(b)

a

+

f(a)

b

，
∴f（2ⁿ）=f（2•2_n-1）
=

f(2n-1)

2

+

f(2)

2n-1

=

f(2n-1)

2

+

1

2n

=…
=

n

2n

，
∴an=

1

2n

，bn=n
∴（1），（3），（4）都正確，由已知不能判斷函數的奇偶性，故（2）錯誤．
故答案為：（1），（3），（4）．

點評：這種題做起來易出錯，使學生系統掌握解等差數列與等比數列綜合題的規律，深化數學思想方法在解題實踐中的指導作用，靈活地運用數列知識和方法解決數學和實際生活中的有關問題