Question

如果（

x

+

1

3x2

）ⁿ（x≠0）展開式中的第五項與第三項的二項式系數之比為

14

3

，
（1）求n的值；
（2）求展開式中常數項的值；
（3）求展開式中各項的系數和?

Answer 1

分析：（1）利用展開式中的第五項與第三項的二項式系數之比為

14

3

，建立方程求n的值；
（2）求展開式中的通項公式，然后求常數項即可；
（3）令x=1，可求展開式中各項的系數和．

解答：解：（1）第三項系數為

C

2 n

，第五項系數為

C

4 n

，
由第五項與第三項系數之比為

14

3

，得

C 4 n

C 2 n

=

14

3

，解得n=10．
（2）令第r+1項為常數項，則Tr+1=

C

R 10

(x2)10-r•(-

1

x

)r=（-1） r•

C

r 10

x

40-5r

2

，
令40-5r=0，解得r=8，
故所求的常數項為T9=

C

8 10

•(-1)8=45．
（3）令x=1得各項數和為(1+

1

3

)10=(

4

3

)10=

1048576

59049

．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，要求熟練掌握二項式系數以及二項式定義的通項公式．