Question

已知各項均為非負整數的數列 ，滿足，．若存在最小的正整數，使得，則可定義變換，變換將數列變為數列．設，．
（Ⅰ）若數列，試寫出數列；若數列，試寫出數列；
（Ⅱ）證明存在唯一的數列，經過有限次變換，可將數列變為數列；
（Ⅲ）若數列，經過有限次變換，可變為數列．設，，求證，其中表示不超過的最大整數．

Answer 1

解：（Ⅰ）若，則；； ；
； ．
若，則 ； ； ； ．                                                ………4分
（Ⅱ）先證存在性，若數列滿足及，則定義變換，變換將數列變為數列：．
易知和是互逆變換．                                        ………5分
對于數列連續實施變換（一直不能再作變換為止）得
 ，
則必有（若，則還可作變換）．反過來對作有限次變換，即可還原為數列，因此存在數列滿足條件．
下用數學歸納法證唯一性：當是顯然的，假設唯一性對成立，考慮的情形．
假設存在兩個數列及均可經過有限次變換，變為，這里，
若，則由變換的定義，不能變為；
若，則，經過一次變換，有
由于，可知（至少3個1）不可能變為．
所以，同理令，
，
則，所以，．
因為，
，
故由歸納假設，有，．
再由與互逆，有
，
，
所以，，從而唯一性得證．                  ………9分
（Ⅲ）顯然，這是由于若對某個，，則由變換的定義可知， 通過變換，不能變為．由變換的定義可知數列每經過一次變換，的值或者不變，或者減少，由于數列經有限次變換，變為數列時，有，，
所以為整數，于是，，
所以為除以后所得的余數，即．………13分

略