Question

已知橢圓經過點．
（1）求橢圓的方程及其離心率；
（2）過橢圓右焦點的直線（不經過點）與橢圓交于兩點，當的平分線為 時，求直線的斜率．

Answer 1

（1），；（2）.

試題分析：本題主要考查橢圓的標準方程以及幾何性質、直線與橢圓相交問題等基礎知識，考查學生的數形結合思想、轉化能力、計算能力.第一問，橢圓過點P，說明點P在橢圓上，符合解析式，即可求出，從而得到橢圓的標準方程，通過橢圓的標準方程得到，，，從而得到離心率；第二問，由第一問得到橢圓右焦點F的坐標，由P、F點坐標可知軸，由題意得，令直線AB的方程與橢圓方程聯立，得到A、B坐標，結合P點坐標，得出和代入到中，解出直線AB的斜率k的值.
（1）把點代入，可得．
故橢圓的方程為，橢圓的離心率為．　……4分
（2）由（1）知：．
當的平分線為時，由和知：軸．
記的斜率分別為．所以，的斜率滿足……6分
設直線方程為，代入橢圓方程并整理可得，
．      
設，則
又，則，
．……………………8分
所以=
  …………11分
即．   ．             ……………13分