Question

已知點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…，B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，點A₁（x₁，0），A₂（x₂，0），A₃（x₃，0）…A_n（x_n，0）順次為x軸上的點，其中x₁=a（0＜a＜1），對于任意n∈N^*，點A_n，B_n，A_n+1構成以∠B_n為頂點的等腰三角形，設△A_nB_nA_n+1的面積為S_n．
（1）證明：數列{y_n}是等差數列；
（2）求S_2n-1（用n和a的代數式表示）．

Answer 1

分析：（1）由于點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，可得 yn=

1

2

n+1，從而可得yn+1-yn=

1

2

，從而可證
（2）已知由

xn+xn+1

2

=n可得x_n+x_n+1=2n，x_n+1+x_n+2=2（n+1），兩式相減，得x_n+2-x_n=2，則可得奇數項和偶數項分別成等數列，由等差數列的通項公式可求x_2n-1，x_2n，進而可得|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，yn=

1

2

n+1，代入三角形的面積公式可求

解答：解：（1）由于點B₁（1，y₁），B₂（2，y₂），…B_n（n，y_n）（n∈N^*）在直線y=

1

2

x+1上，
則 yn=

1

2

n+1  （2分）
因此yn+1-yn=

1

2

，
∴數列{y_n}是等差數列      （4分）
（2）已知由

xn+xn+1

2

=n
那么x_n+x_n+1=2n    （5分）
x_n+1+x_n+2=2（n+1），
以上兩式相減，得x_n+2-x_n=2    （6分）
∴x₁，x₃，x₅，…，x_2n-1，…成等差數列，x₂，x₄ ，x₆，…，x_2n，…也成等數列，
∴x_2n-1=x₁+2（n-1）=2n+a-2  （7分）
∴x_2n=x₂+2（n+1）=（2-a）+2（n-1）=2n-a（9分）
∴點A_2n-1（2n+a-2，0）A_2n（2n-a，0），
則|A_2n-1A_2n|=2（1-a），|A_2nA_2n+1|=2a，yn=

1

2

n+1
∴S_2n-1=

1

2

×2(1-a)×y2n-1=（1-a）×y_2n-1=

(2n+1)(1-a)

2

 （12分）

點評：本題主要考查了等差數列的定義的應用，數列的遞推公式的應用及三角形的面積公式的應用，屬于知識的綜合應用．