Question

已知函數f（x）=-x²+4，設函數F(x)=

f(x)，(x＞0) -f(x)，(x＜0)

．
（1）求F（x）表達式；
（2）解不等式1≤F（x）≤2；
（3）設mn＜0，m+n＞0，判斷F（m）+F（n）能否小于0？

Answer 1

分析：（1）由題義知分段函數求值應分段處理，利用函數f（x）的解析式即得．
（2）先對x的值進行分類討論：當x＞0時，當x＜0時，分別解不等式，最后綜合上述不等式的解即可；
（3）確定m，n的符號代入相應的解析式依據其形式進行判斷．因為 m，n的符號有兩個組合，又兩種情況下解題結論是一樣的，故只證其一種．

解答：解：（1）F（x）=

-x2+4x＞0 x2-4x＜0

；（2分）
（2）當x＞0時，解不等式1≤-x²+4≤2，得

2

≤x≤

3

；（2分）
當x＜0時，解不等式1≤x²-4≤2，得-

6

≤x≤-

5

．（2分）
綜合上述不等式的解為

2

≤x≤

3

或-

6

≤x≤-

5

．（2分）
（3）∵mn＜0，不妨設m＞0，則n＜0，又m+n＞0，∴m＞-n＞0，
∴|m|＞|n|，（2分）
∴F（m）+F（n）=-m²+4+n²-4=n²-m²＜0，
即F（m）+F（n）能小于0．（4分）

點評：本題考點是分段函數，考查了求分段函數的解析式，一元二次不等式的解法，以及根據分段函數的定義選擇解析式判斷符號．解答的關鍵是分段函數求值應分段處理．