Question

選考題：從以下3題中選擇2題做答，每題7分，若3題全做，則按前2題給分。

(1)（選修4—2   矩陣與變換）（本題滿分7分）

變換是將平面上每個點的橫坐標乘2，縱坐標乘4，變到點。

（Ⅰ）求變換的矩陣；

（Ⅱ）圓在變換的作用下變成了什么圖形？

(2)（選修4—4 參數方程與極坐標）（本題滿分7分）

在極坐標系下，已知圓O：和直線，

（Ⅰ）求圓O和直線的直角坐標方程；

（Ⅱ）當時，求直線與圓O公共點的一個極坐標.

(3)（選修4—5  不等式證明選講）（本題滿分7分）

對于任意實數和，不等式恒成立，試求實數的取值范圍．

Answer 1

解： (1)（選修4—2   矩陣與變換）（本題滿分7分）

（Ⅰ）由已知得

變化T的矩陣是                                  …………_3分

（Ⅱ）由，得：，

代入方程，得：

∴圓C：在變化T的作用下變成了橢圓   …………_7分

(2)（選修4—4 參數方程與極坐標）（本題滿分7分）

解：（Ⅰ）圓O：，即

圓O的直角坐標方程為：，即  …………_3分

直線，即

則直線的直角坐標方程為：，即         …………_5分

（Ⅱ）由得

故直線與圓O公共點的一個極坐標為                  …………_7分

(3)（選修4—5  不等式證明選講）（本題滿分7分）

解：由題知，恒成立，

故不大于的最小值             …………_3分

∵，當且僅當時取等號

∴的最小值等于2.                           …………_6分

∴x的范圍即為不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解，解不等式得 ………_7分