Question

已知△ABC的邊AB邊所在直線的方程為x-3y-6=0，M（2，0）滿足

BM

=

MC

，點T（-1，1）在AC邊所在直線上且滿足

AT

=

AB

．
（I）求AC邊所在直線的方程；
（II）求△ABC外接圓的方程；
（III）若動圓P過點N（-2，0），且與△ABC的外接圓外切，求動圓P的圓心的軌跡方程．
請注意下面兩題用到求和符號：
f（k）+f（k+1）+f（k+2）+…+f（n）=

n

i=k

f(i)，其中k，n為正整數且k≤n．

Answer 1

分析：（I）由

AT

•

AB

=0，T在AC上，知△ABC是直角三角形．由AB邊所在的直線方程是x-3y-6=0，知直線AC的斜率是-3，再由T（-1，1）在直線AC上，能求出AC邊所在的直線方程．
（II）AC與AB的交點為A，由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．由

BM

=

MC

，知M（2，0）為Rt△ABC外接圓的圓心，再由r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，能求出△ABC外接圓的方程．
（III）由動圓P過點N，知|PN|是該圓的半徑，再由動圓P與圓M外切，知|PM|=|PN|+2

2

，由此能得到點P的軌跡．

解答：解：（I）∵

AT

•

AB

=0，∴AT⊥AB，
∵T在AC上，∴AC⊥AB，△ABC是直角三角形．
又AB邊所在的直線方程是x-3y-6=0，
∴直線AC的斜率是-3，
∵T（-1，1）在直線AC上，
∴AC邊所在的直線方程是y-1=-3（x+1），即3x+y+2=0．
（II）AC與AB的交點為A，
由

x-3y-6=0 3x+y+2=0

，解得A（0，-2）．
∵

BM

=

MC

，
∴M（2，0）為Rt△ABC外接圓的圓心，
∵r=|AM|=

(2-0)2+(0+2)2

=2

2

，
∴△ABC外接圓的方程為：（x-2）²+y²=8．
（III）∵動圓P過點N，所以|PN|是該圓的半徑，
又∵動圓P與圓M外切，
∴|PM|=|PN|+2

2

，即|PM|-|PN|=2

2

．
故點P的軌跡是以M，N為焦點，實軸長為2

2

的雙曲線的左支．

點評：本題考查圓的性質和應用，解題時要認真審題，注意直線和圓的位置關系的合理運用．