Question

【題目】設函數f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ），其中0＜ω＜3，已知f（ ）=0．
（Ⅰ）求ω；
（Ⅱ）將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再將得到的圖象向左平移 個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求g（x）在[﹣ ， ]上的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）函數f（x）=sin（ωx﹣ ）+sin（ωx﹣ ）

=sinωxcos ﹣cosωxsin ﹣sin（ ﹣ωx）

= sinωx﹣ cosωx

= sin（ωx﹣ ），

又f（ ）= sin（ ω﹣ ）=0，

∴ ω﹣ =kπ，k∈Z，

解得ω=6k+2，

又0＜ω＜3，

∴ω=2；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）= sin（2x﹣ ），

將函數y=f（x）的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），得到函數y= sin（x﹣ ）的圖象；

再將得到的圖象向左平移 個單位，得到y= sin（x+ ﹣ ）的圖象，

∴函數y=g（x）= sin（x﹣ ）；

當x∈[﹣ ， ]時，x﹣ ∈[﹣ ， ]，

∴sin（x﹣ ）∈[﹣ ，1]，

∴當x=﹣ 時，g（x）取得最小值是﹣ × =﹣ ．

【解析】（1）根據兩角和的正弦公式可得到f（x）= sin（ωx﹣ ），且f（）=0，即可得到ω=2，（2）根據三角函數圖象平移的規則（左加右減）可得到g（x）的解析式，由三角函數的圖象和性質可得出g（x）的最小值.