Question

已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為3，長為2的線段MN點一個端點M在DD₁上運動，另一個端點N在底面ABCD上運動，則MN的中點P的軌跡與正方體的面所圍成的幾何體的體積為

 

．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,軌跡方程

專題：空間位置關系與距離

分析：不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1，從而P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的

1

8

，由此能求出結果．

解答： 解：如圖可得，端點N在正方形ABCD內運動，連接N點與D點，
由ND，DM，MN構成一個直角三角形，
設P為MN的中點，
根據直角三角形斜邊上的中線長度為斜邊的一半，
得不論△MDN如何變化，P點到D點的距離始終等于1．
故P點的軌跡是一個以D為中心，半徑為1的球的

1

8

．
其體積V=

1

8

×

4

3

×π×1³=

π

6

．
故答案為：

π

6

．

點評：本題考查幾何體的體積的求法，是中檔題，解題時要注意空間思維能力的培養．