Question

給出下列命題：
（1）常數列既是等差數列，又是等比數列；
（2）實數等差數列中，若公差d＜0，則數列必是遞減數列；
（3）實數等比數列中，若公比q＞1，則數列必是遞增數列；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=1；
（5）首項為a₁，公比為q的等比數列的前n項和為S_n=

a1(1-qn)

1-q

．其中正確命題的序號是

 

．

Answer 1

分析：（1），（3），（5）可舉反例說明此命題為假命題；（2）根據通項公式，利用一次函數的單調性即可判斷真假；（4）利用求極限的方法求出極限的值即可判斷命題的真假．即可得到正確命題的序號．

解答：解：（1）當常數列的項都為0時，是等差數列但不是等比數列，此命題為假命題；
（2）因為等差數列的通項公式a_n=a₁+（n-1）d=dn+a₁-d為關于n的一次函數，由d＜0，得到數列必是遞減數列，此命題為真命題；
（3）取首項為-1，公比為2＞1的等比數列，但此數列是遞減數列，此命題為假命題；
（4）

lim

n→∞

(

2

n

+

4n-1

4n

)=

lim

n→∞

(

2

n

+1-

1

4n

)=

lim

n→∞

2

n

+

lim

n→∞

1-

lim

n→∞

1

4n

=1，所以此命題為真命題；
（5）當等比數列的公比為1時，等比數列的前n項和公式沒有意義，此命題為假命題．
所以正確命題的序號是：（2）（4）．
故答案為：（2）（4）

點評：此題考查學生掌握數列的函數特征及利用等比數列的前n項和公式的條件，理解極限的定義及會進行極限的運算，是一道中檔題．本題的解題思想是說明一個命題是假命題只需舉一個反例即可，但說明一個命題是真命題必須經過證明．