Question

【題目】定義：如果數列的任意連續三項均能構成一個三角形的三邊長，則稱為三角形”數列對于“三角形”數列，如果函數使得仍為一個三角形”數列，則稱是數列的“保三角形函數”．

（1）已知是首項為2，公差為1的等差數列，若，是數列的保三角形函數”，求的取值范圍；

（2）已知數列的首項為2019，是數列的前項和，且滿足，證明是“三角形”數列；

（3）求證：函數，是數列1，，的“保三角形函數”的充要條件是，．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）先由條件得是三角形數列，再利用，是數列的“保三角形函數”，得到，解得的取值范圍；

（2）先利用條件求出數列的通項公式，再證明其滿足“三角形”數列的定義即可；

（3）根據函數，，是數列1，，的“保三角形函數”，可以得到①1，，是三角形數列，所以，即，②數列中的各項必須在定義域內，即，③，，是三角形數列；結論為在利用，是單調遞減函數，就可求出對應的范圍，即可證明．

（1）解：顯然，對任意正整數都成立，即是三角形數列，

因為，顯然有，

由得，解得，

所以當時，是數列的“保三角形函數”；

（2）證：由，

當時，，∴，∴，

當時，即，解得，∴，

∴數列是以2019為首項，以為公比的等比數列，

∴，

顯然，因為，

所以是“三角形”數列；

（3）證：函數，是數列1，，的“保三角形函數”，必須滿足三個條件：

①1，，是三角形數列，所以，即；

②數列中的各項必須在定義域內，即；

③，，是三角形數列，

由于，是單調遞減函數，所以，解得，

所以函數，是數列1，，的“保三角形函數”的充要條件是，．