Question

在數列中，，，．

（Ⅰ）證明數列是等比數列；

（Ⅱ）求數列的前項和；

（Ⅲ）證明不等式，對任意皆成立．

Answer 1

本小題以數列的遞推關系式為載體，主要考查等比數列的概念、等比數列的通項公式及前項和公式、不等式的證明等基礎知識，考查運算能力和推理論證能力．

（Ⅰ）證明：由題設，得

，．

又，所以數列是首項為，且公比為的等比數列．

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知，于是數列的通項公式為

．

所以數列的前項和．

（Ⅲ）證明：對任意的，

．

所以不等式，對任意皆成立．