Question

在(2x2-

1

3 x

)8的展開式中．
求：
（1）第5項的二項式系數；
（2）第5項的系數；
（3）倒數第3項；
（4）含x⁹的項．

Answer 1

分析：（1）先求出二項式展開式的通項公式，在通項公式中，令r=4即可得到第5項的二項式系數

C

4 8

，運算求得結果．
（2）在通項公式中，令r=4，求出未知數x的系數，即為所求．
（3）倒數第3項即為第7項，在通項公式中，令r=6，即可求出倒數第3項T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6，運算求得結果．
（4）在通項公式中，令x的冪指數等于9，解得 r的值，即可求得含x⁹的項．

解答：解：（1）由于 (2x2-

1

3 x

)8的展開式的通項公式為 T_r+1=

C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

，
在通項公式中，令r=4即可得到第5項的二項式系數為

C

4 8

=70．
（2）在通項公式中，令r=4，求出未知數x的系數，即為所求，故第5項的系數為

C

4 8

24(-1)4=1120，
（3）倒數第3項即為第7項，在通項公式中，令r=6，即可求出倒數第3項 T6+1=

C

6 8

(2x2)2(-

1

3 x

)6=112x2．
（4）在通項公式

Tr+1= C r 8 (2x2)8-r(- 1 3 x )r= C r 8 (-1)r28-rx16- 7r 3

中，令x的冪指數 16-

7r

3

=9，解得 r=3．
故含x⁹的項為 T₄=

C

3 8

 （-1）³ x⁹=-179 x⁹．

點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．