Question

（2012•佛山二模）設(shè)曲線C：x²-y²=1上的點P到點A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，若a₀=0，an=

2

dn-1，n∈N^*．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求證：

a1

a3

+

a3

a5

+…+

a2n-1

a2n+1

＜

a2

a4

+

a4

a6

+…+

a2n

a2n+2

；
（Ⅲ）是否存在常數(shù)M，使得對?n∈N^*，都有不等式：

1

a 3 1

+

1

a 3 2

+…+

1

a 3 n

＜M成立？請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)曲線C：x²-y²=1上的點P到點A_n（0，a_n）的距離的最小值為d_n，設(shè)點P（x，y），利用兩點間的距離公式，再采用配方法可得，再根據(jù)an=

2

dn-1，可得

1

2

an+1=

2+ a 2 n 2

，從而可得

a

2 n+1

-

a

2 n

=2，從而數(shù)列{

a

2 n

}是首項

a

2 1

=2，公差為2的等差數(shù)列，進(jìn)而可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）先判斷a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n，從而有

a2n-1

a2n+1

＜

a2n

a2n+2

，所以

a1

a3

＜

a2

a4

，

a3

a5

＜

a4

a6

，…，

a2n-1

a2n+1

＜

a2n

a2n+2

，疊加可得結(jié)論；
（Ⅲ）先證明

1

k3

＜

1

k-1

-

1

k+1

，從而可得

n

k=2

1

k3

＜

n

k=2

(

1

k-1

-

1

k+1

)=1+

1

2

-

1

k

-

1

k+1

＜1+

1

2

，進(jìn)而可知存在常數(shù)M=

1

4

+

2

2

，對?n∈N^*，都有不等式：

1

a 3 1

+

1

a 3 2

+…+

1

a 3 n

＜M成立．

解答：（Ⅰ）解：設(shè)點P（x，y），則x²-y²=1，所以|PAn|=

x2+(y-an)2

=

2(y- an 2 )2+ 2+ a 2 n 2

，
因為y∈R，所以當(dāng)y=

an

2

時，|PA_n|取得最小值d_n，且dn=

2+ a 2 n 2

，
又an=

2

dn-1，所以an+1=

2

dn，即dn=

1

2

an+1
將dn=

1

2

an+1代入dn=

2+ a 2 n 2

得

1

2

an+1=

2+ a 2 n 2

兩邊平方得

a

2 n+1

-

a

2 n

=2，又a₀=0，

a

2 1

=2
故數(shù)列{

a

2 n

}是首項

a

2 1

=2，公差為2的等差數(shù)列，所以

a

2 n

=2n，
因為an=

2

dn-1＞0，所以

a

n

=

2n

．…（6分）
（Ⅱ）證明：因為（2n+2）（2n-1）-2n（2n+1）=-2＜0，
所以（2n+2）（2n-1）＜2n（2n+1）
所以

(2n+2)(2n-1)

＜

2n(2n+1)

，所以a_2n+2a_2n-1＜a_2n+1a_2n
所以

a2n-1

a2n+1

＜

a2n

a2n+2

，所以

a1

a3

＜

a2

a4

，

a3

a5

＜

a4

a6

，…，

a2n-1

a2n+1

＜

a2n

a2n+2

以上n個不等式相加得

a1

a3

+

a3

a5

+…+

a2n-1

a2n+1

＜

a2

a4

+

a4

a6

+…+

a2n

a2n+2

．…（10分）
（Ⅲ）解：因為

1

a 3 k

=

1

2 2 • k3

，當(dāng)k≥2時，

1

k3

＜

1

(k2-1)k

=

1

(k-1)k(k+1)

=

1

(k-1)(k+1)

•

1

k

，
因為

1

k

=

2

2 k

＜

2

k-1 + k+1

=

k+1

-

k-1

，
所以

1

(k-1)(k+1)

•

1

k

＜

1

(k-1)(k+1)

(

k+1

-

k-1

)=

1

k-1

-

1

k+1

所以

1

k3

＜

1

k-1

-

1

k+1

，

n

k=2

1

k3

＜

n

k=2

(

1

k-1

-

1

k+1

)=1+

1

2

-

1

k

-

1

k+1

＜1+

1

2

所以

n

i=1

1

a 3 i

=

1

2 2

+

1

2 2

n

k=2

1

k3

＜

1

2 2

+

1

2