Question

如圖，2012年春節，攝影愛好者S在某公園A處，發現正前方B處有一立柱，測得立柱頂端O的仰角和立柱底部B的俯角均為30°，已知S的身高約為米（將眼睛距地面的距離按米處理）
（1）求攝影者到立柱的水平距離和立柱的高度；
（2）立柱的頂端有一長2米的彩桿MN繞中點O在S與立柱所在的平面內旋轉．攝影者有一視角范圍為60°的鏡頭，在彩桿轉動的任意時刻，攝影者是否都可以將彩桿全部攝入畫面？說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，則有∠CSB=30°，∠ASB=60°．SA=，在Rt△SAB中，由三角函數的定義可求AB；再由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中由三角函數的定義可求OC，進而可求OB
（2）以O為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐標系．設M（cosα，sinα），α∈[0，2π），則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-），利用向量的數量積的坐標表示可求cos∠MSN=∈[，1]，結合余弦函數的性質可求答案．
解答：解：（1）如圖，不妨將攝影者眼部記為點S，作SC⊥OB于C，
依題意∠CSB=30°，∠ASB=60°．
又SA=，故在Rt△SAB中，可求得BA==3，
即攝影者到立柱的水平距離為3米．…（3分）
由SC=3，∠CSO=30°，在Rt△SCO中OC=SC•tan30°=，
又BC=SA=，故OB=2，即立柱的高度為2米．…（6分）
（2）如圖，以O為原點，以水平方向向右為x軸正方向建立平面直角坐
標系．設M（cosα，sinα），α∈[0，2π），
則N（-cosα，-sinα），由（Ⅰ）知S（3，-）．…（8分）
故=（cosα-3，sinα+），=（-cosα-3，-sinα+），
∴•=（cosα-3）（-cosα-3）+（sinα-）（-sinα-）=11（10分）
||•||=×=×==
由α∈[0，2π）知||•||∈[11，13]…（12分）
所以cos∠MSN=∈[，1]，
∴∠MSN＜60°恒成立
故在彩桿轉動的任意時刻，攝影者都可以將彩桿全部攝入畫面
點評：本題考查的是解三角形的應用，解題的 關鍵是準確理解基本概念：仰角俯角問題，熟知銳角三角函數的定義及正弦、余弦定理．