Question

設函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，且滿足f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，當-1≤x≤1時，f（x）=x³．則下列四個命題中正確的命題是（　　）
①f（x）是以4為周期的周期函數；
②f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）³；
③f（x）的圖象的對稱軸中有x=±1；
④f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程為3x+4y=5．

Answer 1

分析：對于①，由f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立即可判斷①的正誤；
對于②，利用①f（x）是以4為周期的周期函數，當-1≤x≤1時，f（x）=x³即可求得f（x）在[1，3]上的解析式，從而可判斷其正誤；
對于③，由f（1+x）=f（1-x）與f（-1+x）=f（-1-x）即可判斷③的正誤；
對于④，由②f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）³；即可求得f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))處的切線的斜率，從而求得切線方程，可對④的正誤作出判斷．

解答：解：對于①，∵f（x-2）=-f（x）對一切x∈R恒成立，
∴f[（x-2）-2]=-f（x-2）=f（x），即f（x-4）=f（x）
以-x代x得：f（-x-4）=f（-x），
又函數y=f（x）是定義域為R的奇函數，
∴-f（x+4）=-f（x），
∴f（x+4）=f（x），
∴f（x）是以4為周期的周期函數，故①正確；
對于②，令1≤x≤3，則-1≤2-x≤1，故-1≤x-2≤1，
∵-1≤x≤1時，f（x）=x³，
∴f（x-2）=（x-2）³；
∵f（x-2）=-f（x），
∴-f（x）=（x-2）³，
∴f（x）=（2-x）³，故②正確；
∵f（x-2）=-f（x），
∴f[-1+（x-1）]=f[-1-（x-1）]=-f（x），
∴f（x）的圖象關于x=-1對稱；
∵f（2-x）=f（x），
∴f[1+（1-x）]=f[1-（1-x）]，
∴f（x）的圖象關于x=1對稱，
故③正確；
對于④，∵f（x）在[1，3]上的解析式為f（x）=（2-x）³；
∴f′（x）|x=

3

2

=[-3（2-x）²]|x=

3

2

=-

3

4

，又f（

3

2

）=（2-

3

2

）³=

1

8

，
∴f（x）在(

3

2

，f(

3

2

))處的切線方程為：y-

1

8

=-

3

4

（x-

3

2

）
整理得：3x+4y=5．
故④正確．
故選D．

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，考查函數的周期性及函數解析式的求解及常用方法，考查利用導數研究曲線上某點切線方程，綜合性強，屬于中檔題．