Question

已知函數（其中是實數常數，）

（1）若，函數的圖像關于點（—1，3）成中心對稱，求的值；

（2）若函數滿足條件（1），且對任意，總有，求的取值范圍；

（3）若b=0，函數是奇函數，，，且對任意時，不等式恒成立，求負實數的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：(1)由于，，這種類型的函數我們易聯想到函數的平移變換，如向右平移個單位，再向上平移個單位，得函數的圖象，且函數的圖象的對稱中心就是，因此我們只要把轉化為的形式，即，就能得出結論；（2）由(1)知，，問題是當時，函數的值域，可分類討論，當時，，而當時，函數具有單調性，由此可很快求出函數的最值，求出的取值范圍；（3）由于，中還有三個參數，正好題中有三個條件，我們可先求出，然后才能把不等式化為，由于，因此此分式不等式可以兩邊同乘以直接去分母化為整式不等式，，從而可以分離參數得，也即，下面我們只要求出的最小值即可.

試題解析：(1)，

．

類比函數的圖像，可知函數的圖像的對稱中心是．

又函數的圖像的對稱中心是，

(2)由(1)知，．

依據題意，對任意，恒有．

若，則，符合題意．

若，當時，對任意，恒有，不符合題意．

所以，函數在上是單調遞減函數，且滿足．

因此，當且僅當，即時符合題意．

綜上，所求實數的范圍是．

(3)依據題設，有解得

于是，．

由，解得．

因此，．

考察函數，可知該函數在是增函數，故．

所以，所求負實數的取值范圍是．

考點：（1）圖象變換；（2）函數的最值；（3）分式不等式與分離參數法求參數取值范圍.