Question

【題目】(本題滿分12分)袋中裝有黑色球和白色球共7個，從中任取2個球都是白色球的概率為.現有甲、乙兩人從袋中輪流摸出1個球，甲先摸，乙后摸，然后甲再摸，……，摸后均不放回，直到有一人摸到白色球后終止．每個球在每一次被摸出的機會都是等可能的，用X表示摸球終止時所需摸球的次數．

(1)求隨機變量X的分布列和均值E(X)；

(2)求甲摸到白色球的概率．

Answer 1

【答案】(1)分布列見解析，E(X)＝2.

(2) P(A)＝.

【解析】分析：（1）由已知先出白子個數，進而可得隨機變量X的概率分布列和數學期望；

（2）記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”，利用互斥事件概率加法公式可得.

詳解：設袋中白色球共有x個，x∈N*且x≥2，則依題意知＝，

所以＝，即x2－x－6＝0，解得x＝3(x＝－2舍去)．

(1)袋中的7個球，3白4黑，隨機變量X的所有可能取值是1,2,3,4,5.

P (X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝.

隨機變量X的分布列為

X	1	2	3	4	5
P

所以E(X)＝1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝2.

(2)記事件A為“甲摸到白色球”，則事件A包括以下三個互斥事件：

A1＝“甲第1次摸球時摸出白色球”；

A2＝“甲第2次摸球時摸出白色球”；

A3＝“甲第3次摸球時摸出白色球”．

依題意知，P(A1)＝＝，P(A2)＝＝，P(A3)＝＝，

所以甲摸到白色球的概率為P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.