Question

若正三棱錐的棱長都是6cm，求它的內切球的表面積與體積。

Answer 1

解：如圖，設E，F分別為側面與底面的切點，則F為底面ABC的中心，
設CF交AB于H，連接DH，則有E點在DH上，

∴，
設球心為O，連接OE，則OE⊥DH，且OE=OF=r，
易知，則，
又∵AB=BC=AC=DA=6，
∴，∴，
∴DO=DF-OF，
∴，
代入DF、DH、HF得，即，
∴，。