Question

已知O為坐標原點，M(cosx，2

3

)，N(2cosx，sinxcosx+

3

6

a)其中
x∈R，a為常數，設函數f(x)=

OM

•

ON

．
（1）求函數y=f（x）的表達式和最小正周期；
（2）若角C為△ABC的三個內角中的最大角且y=f（C）的最小值為0，求a的值；
（3）在（2）的條件下，試畫出y=f（x）（x∈[0，π]）的簡圖．

Answer 1

分析：（1）根據向量數量積的坐標表示和兩角和的正弦公式，求出函數的解析式并進行化簡，利用周期公式求出函數的最小正周期；
（2）根據三角形最大角的范圍求出2C+

π

6

的范圍，再由正弦函數的性質以及最小值求出a的值；
（3）根據（2）求出的函數解析式，以及對應坐標系中的標出的自變量的值求出對應的函數值，利用描點連線和正弦曲線，畫出函數的簡圖．

解答：解：（1）由題意知，f(x)=

OM

•

ON

則f(x)=2cos2x+2

3

(sinxcosx+

3

6

a)=cos2x+

3

sin2x+1+a
=2sin(2x+

π

6

)+a+1
∴T=π
（2）由角C為△ABC的三個內角中的最大角可得：

π

3

≤C＜π，2C+

π

6

∈[

5

6

π，

13

6

π)，
∴y=f(C)=2sin(2C+

π

6

)+a+1的最小值為2×（-1）+a+1=0，
則a=1．
（3）由（2）可知：y=f(x)=2sin(2x+

π

6

)+2，
依次求出f（0）=3，f（

π

6

）=4，f（

π

3

）=3，f（

π

2

）=1，f（

2π

3

）=0，f（

5π

6

）=1，f（π）=3．
在坐標系中進行描點連線，畫出函數的圖象（x∈[0，π]）：

點評：本題是向量和三角函數的綜合題，考查了向量數量積的坐標表示和正弦函數的性質應用，綜合運用知識和作圖能力．