Question

在R上可導(dǎo)的函數(shù)f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取得極小值，則

b-2

a-1

的取值范圍是（　　）

• A．（-

  1

  2

  ，

  1

  2

  ）
• B．（-

  1

  2

  ，

  1

  4

  ）
• C．（

  1

  4

  ，1）
• D．（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

分析：求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由當(dāng)x∈（0，1）時(shí)取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取得極小值列出關(guān)于a，b的不等式組，作出可行域，然后利用

b-2

a-1

的幾何意義求其取值范圍．

解答：解：由f（x）=

1

3

x³+

1

2

ax²+2bx+c，得f′（x）=x²+ax+2b．
因?yàn)楫?dāng)x∈（0，1）時(shí)f（x）取得極大值，當(dāng)x∈（1，2）時(shí)取得極小值．
則f′（x）在（0，1）內(nèi)有一零點(diǎn)d，在（1，2）內(nèi)有一零點(diǎn)e，即

f′(0)=2b＞0 f′(1)=1+a+2b＜0 f′(2)=4+2a+2b＞0

，
可行域如圖，C（-3，1），

而

b-2

a-1

的幾何意義是可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)（a，b）與定點(diǎn)M（1，2）連線斜率的取值范圍，
由圖可知，當(dāng)直線過MC時(shí)斜率最小為
當(dāng)直線過MA時(shí)斜率最大為
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，訓(xùn)練了“三個(gè)二次的結(jié)合”解答此題的關(guān)鍵是由題意得到關(guān)于a，b的不等式組，是中檔題．