Question

已知函數f（x）=cosxsinx（x∈R），給出下列四個命題：
①若f（x₁）=-f（x₂），則x₁=-x₂
②f（x）的最小正周期是2π
③在區間[-

π

4

，

π

4

]上是增函數；
④f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱．
其中真命題是（　　）

• A、①②④
• B、①③
• C、②③
• D、③④

Answer 1

分析：先根據二倍角公式將函數f（x）進行化簡，根據正弦函數的性質和已知判斷①；根據最小正周期的求法可判斷②；根據正弦函數的單調性可判斷③；再由正弦函數的對稱性可判斷④．

解答：解：∵f（x）=cosxsinx=

1

2

sin2x
若f（x₁）=-f（x₂），則sin2x₁=-sin2x₂=sin（-2x₂）
∴2x₁=-2x₂+2kπ時滿足條件，即x₁+x₂=kπ可以，故①不正確；
由函數f（x）=

1

2

sin2x知周期T=

2π

2

=π，故②不正確；
令-

π

2

+2kπ≤2x≤

π

2

+2kπ，得-

π

4

+kπ≤x≤

π

4

+kπ，
當k=0時，x∈[-

π

4

，

π

4

]，f（x）是增函數，故③正確；
將x=

3π

4

代入函數f（x）得，f（

3π

4

）=-

1

2

為最小值，
故f（x）的圖象關于直線x=

3π

4

對稱，④正確．
故選D．

點評：本題主要考查正弦函數的二倍角公式和正弦函數的性質．基礎知識的熟練掌握是解題的關鍵，一定要將基礎打牢．