Question

如圖，四棱錐P—ABCD中，底面四邊形ABCD是正方形，側面PDC是邊長為a的正

三角形，且平面PDC⊥底面ABCD，E為PC的中點。

         （I）求異面直線PA與DE所成的角；

         （II）求點D到面PAB的距離.

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）

解析:

（1）解法一：連結AC，BD交于點O，連結EO.

∵四邊形ABCD為正方形，∴AO=CO，又∵PE=EC，∴PA∥EO，

∴∠DEO為異面直線PA與DE所成的角……………………3分

∵面PCD⊥面ABCD，AD⊥CD，∴AD⊥面PCD，∴AD⊥PD.

在Rt△PAD中，PD=AD=a，則，

∴異面直線PA與DE的夾角為……………………6分

（2）取DC的中點M，AB的中點N，連PM、MN、PN.

∴D到面PAB的距離等于點M到

面PAB的距離.……7分

過M作MH⊥PN于H，

∵面PDC⊥面ABCD，PM⊥DC，

∴PM⊥面ABCD，∴PM⊥AB，

又∵AB⊥MN，PM∩MN=M，

∴AB⊥面PMN. ∴面PAB⊥面PMN，

∴MH⊥面PAB，

則MH就是點D到面PAB的距離.……10分

在

………………12分

解法二：如圖取DC的中點O，連PO，

∵△PDC為正三角形，∴PO⊥DC.

又∵面PDC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD.

如圖建立空間直角坐標系

則

.………………………………3分

（1）E為PC中點，  ，

，

∴異面直線PA與DE所成的角為……………………6分

（2）可求，

設面PAB的一個法向量為，

   ①     . ②

由②得y=0，代入①得

令…………………………9分

則D到面PAB的距離d等于在n上射影的絕對值

即點D到面PAB的距離等于………………………………12分