【題目】已知函數(shù)
.
（1）求函數(shù)
的極小值；
（2）求證：當
時，
.
【答案】（1）見解析（2）見解析
【解析】
（1）由題意可得
分類討論函數(shù)的極小值即可.
（2）令
，原問題等價于
,即證
.據(jù)此分類討論
，
和
三種情況即可證得題中的結(jié)論.
（1）
當
時，即
時，
，函數(shù)
在
上單調(diào)遞增，無極小值；
當
時，即
時，
，函數(shù)在
上單調(diào)遞減；
，函數(shù)在
上單調(diào)遞增；
，
綜上所述，當時，無極小值；當時，
（2）令
當
時，要證：
，即證,即證
，
要證，即證.
①當時，
令
，
，所以
在單調(diào)遞增，
故
，即
.
，
令
，
，
當
，
在
單調(diào)遞減；
，在
單調(diào)遞增，故
，即
.當且僅當
時取等號
又
，
由
、
可知
所以當時，
②當時，即證
.令
，
，
在
上單調(diào)遞減，在
上單調(diào)遞增，
，故
③當時，當
時，
，由②知
，而
，
故；
當
時，
，由②知
，故；
所以，當
時，.
綜上①②③可知，當時，.
科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知a為實數(shù)，函數(shù)f(x)＝aln x＋x2－4x.
(1)是否存在實數(shù)a，使得f(x)在x＝1處取得極值？證明你的結(jié)論；
(2)設g(x)＝(a－2)x，若x0∈
，使得f(x0)≤g(x0)成立，求實數(shù)a的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】線段AB為圓
的一條直徑，其端點A，B在拋物線
上，且A，B兩點到拋物線C焦點的距離之和為11.
（1）求拋物線C的方程及直徑AB所在的直線方程；
（2）過M點的直線l交拋物線C于P，Q兩點，拋物線C在P，Q處的切線相交于N點，求
面積的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，三棱柱
中，
分別為棱
的中點.
（1）在
上確定點M，使
平面
，并說明理由。
（2）若側(cè)面
側(cè)面
，求直線
與平面所成角的正弦值。
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】設點
為拋物線
上的動點，
是拋物線的焦點，當
時，
．
（1）求拋物線
的方程；
（2）過點
作圓
：
的切線
，
，分別交拋物線于點
．當
時，求
面積的最小值．
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖兩個同心球，球心均為點
，其中大球與小球的表面積之比為3:1，線段
與
是夾在兩個球體之間的內(nèi)弦，其中
兩點在小球上，
兩點在大球上，兩內(nèi)弦均不穿過小球內(nèi)部.當四面體
的體積達到最大值時，此時異面直線
與
的夾角為
，則
（ ）
A.
B.
C.
D.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】金秋九月，丹桂飄香，某高校迎來了一大批優(yōu)秀的學生，新生接待其實也是和社會溝通的一個平臺．校團委、學生會從在校學生中隨機抽取了160名學生，對是否愿意投入到新生接待工作進行了問卷調(diào)查，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下：
愿意 | 不愿意 | |
男生 | 60 | 20 |
女生 | 40 | 40 |
（1）通過估算，試判斷男、女哪種性別的學生愿意投入到新生接待工作的概率更大．
（2）能否有99%的把握認為，愿意參加新生接待工作與性別有關？
附：
，其中
．
| 0.05 | 0.01 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知拋物線
的焦點為
.
若點
為拋物線上異于原點的任一點，過點作拋物線的切線交
軸于點
，證明：
.
，
是拋物線上兩點，線段
的垂直平分線交軸于點
(不與
軸平行)，且
.過軸上一點
作直線
軸，且
被以
為直徑的圓截得的弦長為定值，求
面積的最大值.
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