【題目】已知函數
.
（1）若
的圖像過點
，且在點
處的切線方程為
，試求函數的單調區間；
（2）當
時，若函數
恒成立，求整數
的最小值.
【答案】（1）函數的單調遞增區間為
，單調遞減區間為
（2）1
【解析】
（1）根據
且
求得函數解析式，分別令
求得
的范圍，可得函數
增區間，
求得的范圍，可得函數的減區間；（2）函數
恒成立等價于
在區間
內恒成立，根據零點存在定理確定
極值點
的范圍，可得
的范圍，從而可得結果.
（1）函數過點
可知
，①，
，
∴
，
，②，聯立①②可得
，
所以
，函數的定義域為，
可知
，
，
，
，
可知函數的單調遞增區間為，單調遞減區間為
（2）由可知
，
因為
，所以原命題等價于
在區間內恒成立.
設
，
可設
，在單調遞增，且
，
，
所以存在唯一的
，使得
且當
時，
，單調遞增，
當
，
，單調遞減，
所以當
時，有極大值，也為最大值，且
又，所以
，∴
，可知
，所以
的最小值為1.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將編號為1，2，…，18的18名乒乓球運動員分配在9張球臺上進行單打比賽，規定每一張球臺上兩選手編號之和均為大于4的平方數．記{7號與18號比賽}為事件p．則p為（ ）．
A. 不可能事件 B. 概率為
的隨機事件
C. 概率為
的隨機事件 D. 必然事件
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在三棱錐
中，平面
平面
，
為棱
上的一點，且
，
為棱
的中點，
為棱
上的一點，若
平面
，
是邊長為4的正三角形，
，
.
（1）求證：平面
平面
；
（2）求直線
與平面所成角的正弦值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2021年開始，我省將試行“3+1+2“的普通高考新模式，即除語文、數學、外語3門必選科目外，考生再從物理、歷史中選1門，從化學、生物、地理、政治中選2門作為選考科目．為了幫助學生合理選科，某中學將高一每個學生的六門科目綜合成績按比例均縮放成5分制，繪制成雷達圖．甲同學的成績雷達圖如圖所示，下面敘述一定不正確的是（ ）
A.甲的物理成績領先年級平均分最多
B.甲有2個科目的成績低于年級平均分
C.甲的成績從高到低的前3個科目依次是地理、化學、歷史
D.對甲而言，物理、化學、地理是比較理想的一種選科結果
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知雙曲線的頂點與焦點分別是橢圓
的焦點與頂點，若雙曲線的兩條漸近線與橢圓的交點構成的四邊形恰為正方形，則橢圓的離心率為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】
年
月
日，某地援鄂醫護人員
，
，
，
，
，
，
人（其中是隊長）圓滿完成抗擊新冠肺炎疫情任務返回本地，他們受到當地群眾與領導的熱烈歡迎．當地媒體為了宣傳他們的優秀事跡，讓這名醫護人員和接見他們的一位領導共
人站一排進行拍照，則領導和隊長站在兩端且
相鄰，而
不相鄰的排法種數為（ ）
A.
種B.
種C.
種D.
種
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某課題小組共10人，已知該小組外出參加交流活動次數為1，2，3的人數分別為3，3， 4，現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會．
（1）記“選出2人外出參加交流活動次數之和為4”為事件A，求事件A發生的概率；
（2）設X為選出2人參加交流活動次數之差的絕對值，求隨機變量X的分布列和數學期望．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖1，矩形
中，
,
是
邊上異于端點的動點，
,將矩形
沿
折疊至
處，使面
（如圖2）.點
滿足
，
.
(1)證明：
；
(2)設
，當
為何值時，四面體
的體積最大，并求出最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某公交公司為了方便市民出行、科學規劃車輛投放，在一個人員密集流動地段增設一個起點站，為研究車輛發車間隔時間
（分鐘）與乘客等候人數
（人）之間的關系，經過調查得到如下數據：
間隔時間 |
|
|
|
|
|
|
等候人數 |
|
|
|
|
|
|
調查小組先從這
組數據中選取
組數據求線性回歸方程，再用剩下的
組數據進行檢驗．檢驗方法如下：先用求得的線性回歸方程計算間隔時間對應的等候人數
，再求與實際等候人數的差，若差值的絕對值不超過
，則稱所求線性回歸方程是“恰當回歸方程”．
（1）從這
組數據中隨機選取組數據后，求剩下的組數據的間隔時間之差大于的概率；
（2）若選取的是后面組數據，求關于的線性回歸方程
，并判斷此方程是否是“恰當回歸方程”；
（3）在（2）的條件下，為了使等候的乘客不超過
人，則間隔時間最多可以設置為多少分鐘？（精確到整數）
參考公式：
，
．
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