Question

（2009•虹口區一模）定義在R上的函數f（x+2）+f（x）=0，且y=f（x-1）是奇函數，給出下列命題：①函數y=f（x）的最小正周期是2；②函數y=f（x）的圖象關于點（-1，0）對稱；③函數y=f（x）的圖象關于y軸對稱．其中真命題是

②③

（填入命題的編號）．

Answer 1

分析：由f（x+2）+f（x）=0可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則該函數的周期為T=4，又有函數f（x-1）為奇函數，說明函數f（x）應該有對稱中心（-1，0），即f（-2-x）=-f（x）符合點對稱的定義從而可求解．

解答：解：由f（x+2）+f（x）=0，即f（x+2）=-f（x）可得f（x+4）=-f（x+2）=f（x），函數f（x）的周期T=4，所以①錯；
  又∵函數f（x-1）為奇函數，即函數f（x）向右移一個單位以后關于（0，0）對稱，∴平移之前的圖象應該關于（-1，0）對稱，故②正確；
∵f（x+2）=-f（x）且f（x-1）=y為奇函數，
∴f（x+2）=-f（x），f（-x-1）=-f（x-1）=-f（x+1），

點評：此題考查了函數的周期定義及利用定義求函數的周期，還考查了函數的對稱及與圖象的平移變換，還考查了復合函數的奇函數的定義式．，通過抽象函數中一些主條件的變形，來考查函數有關性質，方法往往是緊扣性質