Question

如圖，點是橢圓的一個頂點，的長軸是圓的直徑，、是過點且互相垂直的兩條直線，其中交圓于、兩點，交橢圓于另一點.

（1）求橢圓的方程；
（2）求面積的最大值及取得最大值時直線的方程.

Answer 1

（1）；當直線的方程為時，的面積取最大值.

試題分析：（1）首先根據題中條件求出和的值，進而求出橢圓的方程；（2）先設直線的方程為，先利用弦心距、半徑長以及弦長之間滿足的關系（勾股定理）求出直線截圓所得的弦長
，然后根據直線與兩者所滿足的垂直關系設直線，將直線的方程與橢圓的方程聯立，求出直線截橢圓的弦長，然后求出的面積的表達式，并利用基本不等式求出的面積的最大值，并求出此時直線的方程.
試題解析：（1）由題意得，橢圓的方程為；
（2）設、、，
由題意知直線的斜率存在，不妨設其為，則直線的方程為，
故點到直線的距離為，又圓，，
又，直線的方程為，
由，消去，整理得，
故，代入的方程得
，
設的面積為，則，
，
當且僅當，即時上式取等號，
當時，的面積取得最大值，
此時直線的方程為