Question

（本題滿分14分）
　　如圖，在四棱錐中，底面ABCD是正方形，側棱底面ABCD，，E是PC的中點，作交PB于點F。
　　(I)證明平面；
　　(II)證明平面EFD；
　　(III)求二面角的大小。

Answer 1

方法一：
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于O。連結EO。
　　底面ABCD是正方形，點O是AC的中點
　　在中，EO是中位線，。
　　而平面EDB且平面EDB，
　　所以，平面EDB。
　(II)證明：底在ABCD且底面ABCD，
　　 ① 　　同樣由底面ABCD，得
　　底面ABCD是正方形，有平面PDC
　　而平面PDC， ②　　　　 ………………………………6分
　　由①和②推得平面PBC 　而平面PBC，
　　又且，所以平面EFD
(III)解：由(II)知，，故是二面角的平面角
　　由(II)知，設正方形ABCD的邊長為，則
　　在中，
　　　在中，
　　所以，二面角的大小為
　　方法二：如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設
　　(I)證明：連結AC，AC交BD于G。連結EG。依題意得
　　底面ABCD是正方形，是此正方形的中心，　故點G的坐標為且
　　
　　。這表明。
　　而平面EDB且平面EDB，平面EDB。
　　(II)證明：依題意得。又故
　　　
　　由已知，且所以平面EFD。
　　(III)解：設點F的坐標為則
　　
　　從而所以
　　
　　由條件知，即
　　解得。
　　點F的坐標為且
　　
　　
　　即，故是二面角的平面角。
　　且
　　

略