Question

(本小題滿分12分）已知函數．

（I）當時，如果關于的方程：有且只有一個解，求實數的取值范圍；

（II）當時，試比較與1的大小；

（Ⅲ）求證：．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）當時，，定義域是，

， 令，得或．  …1分

當或時，，當時，，

   函數在、上單調遞增，在上單調遞減．  ……………2分

的極大值是，極小值是．

當時，； 當時，，

當僅有一個零點時，的取值范圍是或．……………4分

  （2）當時，，定義域為．

      令，

       ，

       在上是增函數．              …………………………………8分

①當時，，即；

②當時，，即；

③當時，，即．  …………………………………8分

（3）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，    ． ……………10分

，

．                ……………………………………12分

 (法二)當時，．

，，即時命題成立．   ………………………………9分

設當時，命題成立，即 ．

 時，．

根據（2）的結論，當時，，即．

令，則有，

則有，即時命題也成立．……………11分

因此，由數學歸納法可知不等式成立．                 ………………………………12分

【解析】略