Question

已知f（x）=-x²+a（5-a）x+b．
（1）若不等式f（x）＞0的解集為（-1，7）時，求實數a，b的值；
（2）當a∈[-1，2）時，f（3）＜0恒成立，求實數b的取值范圍．

Answer 1

（1）∵不等式f（x）＞0的解集為（-1，7），
∴-1，7是方程-x²+a（5-a）x+b=0的兩根．
∴

a(5-a)=6 b=7

，
∴

a=2 b=7

或

a=3 b=7

．
（2）∵當a∈[-1，2）時，f（3）＜0恒成立，
∴f（3）=-9+a（5-a）•3+b=-3a²+15a-9+b＜0，a∈[-1，2）恒成立
即b＜3a²-15a+9，a∈[-1，2）恒成立；
設g(a)=3a2-15a+9=3(a-

5

2

)2-

39

4

，
函數g（a）對稱軸為a=

5

2

，
當a∈[-1，2）時，g（a）是減函數，
∴g（a）＞g（2）=-9，
∴b≤-9，
∴實數b的取值范圍是（-∞，-9]．