Question

已知函數(shù)，其中.
（1）當時判斷的單調性；
（2）若在其定義域為增函數(shù)，求正實數(shù)的取值范圍；
（3）設函數(shù)，當時，若，總有成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

（1）增函數(shù)；（2）；（3） .

試題分析：(1) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導函數(shù)，發(fā)現(xiàn)其在恒大于零，于是可知函數(shù)在上單調遞增；(2) 本小題首先求得函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)的公式和法則求得函數(shù)的導函數(shù)，根據(jù)函數(shù)在其定義域內為增函數(shù)，所以，，然后轉化為最值得求解；（3）本小題首先分析“，，總有成立”等價于 “在上的最大值不小于在上的最大值”，于是問題就轉化為求函數(shù)的最值.
試題解析：（1）的定義域為,且>0
所以f(x)為增函數(shù).                          3分
（2），的定義域為
                     5分
因為在其定義域內為增函數(shù)，所以，

而，當且僅當時取等號，所以      9分
（3）當時，，
由得或
當時，；當時，．
所以在上，                    11分
而“，，總有成立”等價于
“在上的最大值不小于在上的最大值”
而在上的最大值為
所以有

所以實數(shù)的取值范圍是                    14分