Question

如圖，設拋物線C₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂；以F₁，F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓C₂與拋物線C₁在x軸上方的交點為P，延長PF₂交拋物線于點Q，M是拋物線C₁上一動點，且M在P與Q之間運動．
（1）當m=1時，求橢圓C₂的方程；
（2）當△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數時，求△MPQ面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F₂（1，0）．設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），由題設條件知c=1，a=2，b²=3，由此可知橢圓C₂方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）因為c=m，e=

c

a

=

1

2

，則a=2m，b²=3m²，設橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1，由

x2 4m2 + y2 3m2 =1 y2=4mx

，得3x²+16mx-12m²=0，得x_P=

2m

3

代入拋物線方程得P（

2m

3

，

2 6 m

3

），由此得m=3，由此可求出△MPQ面積的最大值．

解答：解：（1）當m=1時，y²=4x，則F₁（-1，0），F₂（1，0）
設橢圓方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=1，又e=

c

a

=

1

2

，所以a=2，b²=3
所以橢圓C₂方程為

x2

4

+

y2

3

=1（4分）
（2）因為c=m，e=

c

a

=

1

2

，則a=2m，b²=3m²，
設橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1
由

x2 4m2 + y2 3m2 =1 y2=4mx

，得3x²+16mx-12m²=0（6分）
即（x+6m）（3x-2m）=0，得x_P=

2m

3

代入拋物線方程得y_P=

2 6

3

m，
即P（

2m

3

，

2 6 m

3

）
|PF₂|=x_P+m=

5m

3

，|PF₁|=2a-|PF₂|=4m-

5m

3

=

7m

3

，|F₁F₂|=2m=

6m

3

，
因為△PF₁F₂的邊長恰好是三個連續的自然數，所以m=3（8分）
此時拋物線方程為y²=12x，P（2，2

6

），直線PQ方程為：y=-2

6

（x-3）．
聯立

y=-2 6 (x-3) y2=12x

，得2x²-13x+18=0，即（x-2）（2x-9）=0，
所以x_Q=

9

2

，代入拋物線方程得y_Q=-3

6

，即Q（

9

2

，-3

6

）
∴|PQ|=

(2- 9 2 )2+(2 6 +3 6 ) 2

=

25

2

．
設M（

t2

12

，t）到直線PQ的距離為d，t∈（-3

6

，2

6

）
則d=

| 6 6 t2+t-6 6 |

24+1

=

6

30

|（t+

6

2

）²-

75

2

|（10分）
當t=-

6

2

時，d_max=

6

30

•

75

2

=

5 6

4

，
即△MPQ面積的最大值為

1

2

×

25

2

×

5 6

4

=

125 6

16

．（12分）

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題時要認真審題，仔細解答，注意挖掘題設中的隱含條件．