Question

【題目】定義在R上的增函數y=f（x）對任意x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y）．
（1）求f（0）；
（2）求證：f（x）為奇函數；
（3）若f（k3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0對任意x∈R恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：令x=y=0，得f（0+0）=f（0）+f（0），即f（0）=0
（2）解：證明：令y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，

即f（﹣x）=﹣f（x），∴函數f（x）是奇函數

（3）解：又函數f（x）在R上的是單調遞增函數，

由f（k3x）+f（3x﹣9x﹣4）＜0，

得f（k3x）＜﹣f（3x﹣9x﹣4）=f（﹣3x+9x+4），

即k3x＜﹣3x+9x+4恒成立，

∴k＜ =3x+ ﹣1，

∵3x+ ﹣1≥2 ﹣1=4﹣1=3，

當且僅當3x= ，即x=log32時取等號，

∴k＜3，

即實數k的取值范圍是（﹣∞，3）

【解析】（1）令x=y=0，進行求解，（2）利用函數奇偶性的定義，結合抽象函數，證明f（x）為奇函數；（3）利用函數的單調性和奇偶性解不等式即可．