Question

【題目】如圖，在矩形中，分別在上，且,沿 將四邊形折成四邊形，使點在平面上的射影在直線上

（1）求證：平面平面；

（2）求證：平面；

（3）求二面角的正弦值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）平面，證明故平面，平面，得到證明.

（2），得到平面平面，得到證明.

（3）以為軸，平面內與垂直的直線為軸，平面內與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系，計算，根據得到，平面的法向量為，平面的一個法向量為，計算夾角得到答案.

（1）在平面上的射影在直線上，故平面.

平面，故，，，故平面.

平面，故平面平面.

（2），故，平面，故平面.

，平面，故平面，.

故平面平面，平面，故平面.

（3）如圖所示：以為軸，平面內與垂直的直線為軸，平面內與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標系.

，，，設，，

，取正解，得到，，故.

，故，

設平面的法向量為，故，即，

取，得到，故.

易知：平面的一個法向量為，故.

故二面角的正弦值為.