Question

已知角α的終邊上一點p（x，y），且原點O到點P的距離為r，求m=

y2+rx

r2

的最大與最小值．

Answer 1

分析：根據已知結合三角函數的定義，可得sinα=

y

r

，cosα=

x

r

，則m=

y2+rx

r2

可化為sin²α+cosα，令t=cosα，t∈[-1，1]，可將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，結合二次函數的圖象和性質可得答案．

解答：解：∵角α的終邊上一點p（x，y），且原點O到點P的距離為r，
∴sinα=

y

r

，cosα=

x

r

∴m=

y2+rx

r2

=sin²α+cosα=1-cos²α+cosα
令t=cosα，t∈[-1，1]
則m=-t²+t+1，
當t=

1

2

時，m取最大值

5

4

當t=-1時，m取最小值-1

點評：本題考查的知識點是函數的最值及其幾何意義，熟練掌握三角函數的定義及同角三角函數的基本關系，利用換元法將問題轉化為二次函數在定區間上的最值問題，是解答的關鍵．