Question

【題目】如圖，已知圓N：x2+（y+ ）2=36，P是圓N上的點，點Q在線段NP上，且有點D（0， ）和DP上的點M，滿足 =2 ， =0．
（1）當P在圓上運動時，求點Q的軌跡方程；
（2）若斜率為 的直線l與（1）中所求Q的軌跡交于不同兩點A、B，又點C（ ，2），求△ABC面積最大值時對應的直線l的方程．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意，MQ是線段DP的中垂線，∴|NP|=|NQ|+|QP|=|QN|+|QD|=6＞|DN|=2 ，

∴Q的軌跡是以D，N為焦點的橢圓，且c= ，a=3，b=2，

∴求點Q的軌跡方程是 =1

（2）解：設l：y= x+m，A（x1，y1），B（x2，y2），

與橢圓聯立，可得9x2+6mx+2m2﹣18=0，

x1+x2=﹣ m，x1x2= （2m2﹣18），

|AB|= = ，

C（ ，2）到直線l的距離d= ，

S= = ，

∴m=±3時，S最大，此時直線l的方程為y= x±3

【解析】（1）當P在圓上運動時，利用橢圓的定義，求點Q的軌跡方程；（2）△ABC的面積取到最大值問題，要先建立關于某個自變量的函數，后再求此函數的最大值即可．