【題目】如圖，直三棱柱
中， 
、
分別是
, 
的中點，已知
與平面
所成的角為
， 
.
（1）證明： 
∥平面
；
（2）求二面角
的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2) 
.
【解析】試題分析：（1）連接
，交
于點
，則
為
的中點，結合
是
的中點，根據三角形中位線定理可得
∥
，利用直線與平面平行的判定定理證明
平面
；（2）根據勾股定理可得
，以
為坐標原點， 
、
、
為
軸、
軸、
軸建立如圖的空間坐標系
，利用向量垂直數量積為零，列方程組分別求出平面
的法向量與平面
的法向量，利用空間向量夾角余弦公式可得結果.
試題解析：（1）證明：連接
，交
于點
則
為
的中點
又
是
的中點，連接
則
∥
，
因為
平面
， 
平面
所以
∥平面
（2）解：易知
則
，得
以
為坐標原點， 
、
、
為
軸、
軸、
軸建立如圖的空間坐標系
，
則
， 
， 
， 
， 
，
設
是平面
的法向量，
則
，即
，
可取
同理，設
是平面
的法向量，則
，
可取
從而
故
即二面角
的正弦值為
.
【方法點晴】本題主要考查線面平行的判定定理以及利用空間向量求二面角，屬于難題.空間向量解答立體幾何問題的一般步驟是：（1）觀察圖形，建立恰當的空間直角坐標系；（2）寫出相應點的坐標，求出相應直線的方向向量；（3）設出相應平面的法向量，利用兩直線垂直數量積為零列出方程組求出法向量；（4）將空間位置關系轉化為向量關系；（5）根據定理結論求出相應的角和距離.
桃李文化快樂暑假武漢出版社系列答案
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暑假接力賽新疆青少年出版社系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數y=f(x)，f(0)=-2，且對
，y
R，都有f(x+y)-f(y)=(x+2y+1)x.
（1）求f(x)的表達式；
（2）已知關于x的不等式f(x)-ax+a+1
的解集為A，若A[2,3]，求實數a的取值范圍；
（3）已知數列{
}中， 
， 
，記
，且數列{
的前n項和為
，
求證： 
.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某單位N名員工參加“社區低碳你我他”活動，他們的年齡在25歲至50歲之間。按年齡分組：第1組
，第2組
，第3組
，第4組
，第5組
，由統計的數據得到的頻率分布直方圖如圖所示，下表是年齡的頻率分布表。
區間 |
|
|
|
|
|
人數 |
| a | b |
（1）求正整數a，b，N的值；
（2）現要從年齡較小的第1，2，3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1，2，3組中抽取的人數分別是多少？
（3）在（2）的條件下，從這6人中隨機抽取2人參加社區宣傳交流活動，求恰有1 人在第3組的概率。
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A. 至少有一個白球；至少有一個紅球 B. 至少有一個白球；紅、黑球各一個
C. 恰有一個白球；一個白球一個黑球 D. 至少有一個白球；都是白球
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，在四棱臺ABCD﹣A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，DD1⊥平面ABCD，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）證明：CC1∥平面A1BD；
（Ⅱ）求直線CC1與平面ADD1A1所成角的正弦值
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，圓
，點
是圓上一動點， 
的垂直平分線與
交于點
.
（1）求點
的軌跡方程；
（2）設點
的軌跡為曲線
，過點
且斜率不為0的直線
與
交于
兩點，點
關于
軸的對稱點為
，證明直線
過定點，并求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】共享單車給市民出行帶來了諸多便利，某公司購買了一批單車投放到某地給市民使用.據市場分析，每輛單車的營運累計收入
(單位：元）與營運天數
滿足
.
（1）要使營運累計收入高于800元，求營運天數的取值范圍；
（2）每輛單車營運多少天時，才能使每天的平均營運收入最大？
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】將一副斜邊長相等的直角三角板拼接成如圖所示的空間圖形，其中
，
.若將它們的斜邊
重合，讓三角形
以為軸轉動，則下列說法不正確的是（ ）
A. 當平面
平面
時，
，
兩點間的距離為
B. 當平面平面時，
與平面所成的角為
C. 在三角形轉動過程中，總有
D. 在三角形轉動過程中，三棱錐
的體積最大可達到
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