Question

設函數f（x）=x²+aln（1+x）有兩個極值點s，t，且s＜t．
（1）求a的取值范圍，并討論f（x）的單調性；
（2）證明：f(t)＞

1-2ln2

4

．

Answer 1

分析：（1）由f（x）=x²+aln（1+x），知f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．令g（x）=2x²+2x+a，其對稱軸為x=-

1

2

，由題意知s，t是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，由此能夠討論f（x）的單調性．
（2）由題設和（1）知：g（0）=a＞0，故-

1

2

＜t＜0，由g（t）=0，知a=-2t²-2t=-2t（1+t），故f（t）=t²-2t（1+t）ln（n+t），設h（x）=x2-2x(1+x)ln(1+x)，(x≥-

1

2

)，由此能夠證明f(t)＞

1-2ln2

4

．

解答：解：（1）∵f（x）=x²+aln（1+x），
∴f′(x)=2x+

a

1+x

=

2x2+2x+a

1+x

，x＞-1．
令g（x）=2x²+2x+a，
其對稱軸為x=-

1

2

，
由題意知s，t是方程g（x）=0的兩個均大于-1的不相等的實根，
∴

△=4-8a＞0 g(-1)＞0

，解得0＜a＜

1

2

．
當x∈（-1，s）時，f′（x）＞0，此時f（x）在（-1，s）上為增函數，
當x∈（s，t）時，f′（x）＞0，此時f（x）在（t，+∞）上為增函數．
（2）證明：由題設和（1）知：g（0）=a＞0，
∴-

1

2

＜t＜0，
∵g（t）=0，
∴a=-2t²-2t=-2t（1+t），
∴f（t）=t²+aln（1+t）
=t²-2t（1+t）ln（n+t），
設h（x）=x2-2x(1+x)ln(1+x)，(x≥-

1

2

)
則h′（x）=-2（2x+1）ln（1+x），

當x∈[-

1

2

，0)時，h′（x）≥0，
∴h（x）在x∈[-

1

2

，0)上單調遞增．
當-

1

2

＜x＜0時，
h（x）＞h（-

1

2

）=

1-2ln2

4

，
∴f(t)=h(t)＞

1-2ln2

4

．

點評：本題考查函數的單調性的討論，考查不等式的證明．考查函數知識、不等式知識，考查化歸與轉化、分類與整合的數學思想，培養學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創新意識．