Question

(本小題滿分12分)

已知定點，動點滿足： .

（I）求動點的軌跡的方程；

（II）過點的直線與軌跡交于兩點,試問在軸上是否存在定點,使得 為常數.若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（I）軌跡的方程為

（II）當直線與x軸垂直時，,當時.

 故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數.

【解析】解：（Ⅰ）   

（當動點P與兩定點A,B共線時也符合上述結論）

所以動點P的軌跡為以A,B為焦點，實軸長為的雙曲線

所以，軌跡G的方程為 。     

（Ⅱ）假設存在定點C(m,0),使為常數.

①當直線l不與x軸垂直時，設直線l的方程為

 

由題意知，

設，則， 

于是

∴

＝     

＝

要是使得 為常數，當且僅當，此時 

②當直線與x軸垂直時，,當時.

 故，在x軸上存在定點C(1,0) ,使得 為常數.