Question

過雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1(b＞a＞0)的左焦點F（-c，0）（c＞0）作圓x²+y²=a²的切線，切點為E，延長FE交拋物線y²=4cx于點P．若

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)，則雙曲線的離心率為（　　）

A． 3+ 3 2

B． 1+ 5 2

C． 5 2

D． 1+ 3 2

Answer 1

設雙曲線的右焦點為F'，則F'的坐標為（c，0）
∵拋物線為y²=4cx，
∴F'為拋物線的焦點，O為FF'的中點，
∵

OE

=

1

2

(

OF

+

OP

)
∴E為FP的中點
∴OE為△PFF'的中位線，
∵O為FF'的中點
∴OE∥PF'
∵|OE|=a
∴|PF'|=2a
∵PF切圓O于E
∴OE⊥PF
∴PF'⊥PF，
∵|FF'|=2c
∴|PF|=2b
設P（x，y），則x+c=2a，∴x=2a-c
過點F作x軸的垂線，則點P到該垂線的距離為2a
由勾股定理 y²+4a²=4b²
∴4c（2a-c）+4a²=4（c²-a²）
∴e²-e-1=0
∵e＞1
∴e=

5 +1

2

．
故選B．