Question

（2008•上海一模）在統計學中，我們學習過方差的概念，其計算公式為

σ

2

=

1

N

[(x1-μ)2+(x2-μ)2+…+(xn-μ)2]，并且知道，其中μ=

1

N

(x1+x2+…+xn)為x₁、x₂、…、x_n的平均值．
類似地，現定義“絕對差”的概念如下：設有n個實數x₁、x₂、…、x_n，稱函數g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x_n|為此n個實數的絕對差．
（1）設有函數g（x）=|x+1|+|x-1|+|x-2|，試問當x為何值時，函數g（x）取到最小值，并求最小值；
（2）設有函數g（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+…+|x-x₂|，（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R），
試問：當x為何值時，函數g（x）取到最小值，并求最小值；
（3）若對各項絕對值前的系數進行變化，試求函數f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）的最值；
（4）受（3）的啟發，試對（2）作一個推廣，給出“加權絕對差”的定義，并討論該函數的最值（寫出結果即可）．

Answer 1

分析：（1）根據零點分區間討論法化簡g（x）然后做出其圖象依據圖象即可求出最小值．
（2）將g（x）首尾兩項結合再利用絕對值的幾何意義可得當x取中間的數時g（x）最小而中間的數要視n的奇偶性而定故要對n的奇偶性討論．
（3）根據零點分區間討論法化簡f（x）然后做出其圖象依據圖象的性質即可求出最值．
（4）根據函數f（x）=3|x+3|+2|x-1|-4|x-5|（x∈R）可知由于3+2+（-4）=1＞0則f（x）_min存在f（x）_max不存在故可構造函數f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個實數x₁，x₂，…x_n的加權絕對值然后結合a₁+a₂+…+a_n的取值情況給出結論即可．

解答：解：（1）g(x)=

2-3x，x＜-1 4-x，-1≤x＜1 2+x，1≤x＜2 3x-2，x≥2

，由單調性可知（或由圖象可知）
當x=1時，函數g（x）取得最小值，g（x）_min=g（1）=3；
（2）若n為奇數，則當x=

x

n+1 2

時，有g(x

)

min

=g(

x

n+1 2

)=

n

i= n+1 2 +1

x

i

-

n+1 2 -1

i=1

x

i

，
若n為偶數，則當x∈[

x

n 2

，

x

n 2 +1

]時，有g(x

)

min

=g(

x

n 2

)=

n

i= n 2 +1

x

i

-

n+1 2

i=1

x

i

（3）由y=f(x)=

-x-27，x＜-3 5x-11，-3≤x＜1 9x-13，1≤x＜5 x+27，x≥5

⇒f（x）_min=f（-3）=-26，f（x）_max不存在．
（4）設a₁，a₂，…，a_n為實數，定義函數f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|（x∈R，x₁＜x₂＜…＜x_n∈R）為n個實數x₁，x₂，…x_n的加權絕對值；
以下求該函數的最值：
f（x）=a₁|x-x₁|+a₂|x-x₂|+…+a_n|x-x_n|=

-( a   1 + a   2 +… a   n )x+( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x≤ x   1 [ a   1 -( a   2 +…+ a   n )]x+(- a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n ) x   1 ＜x≤ x   2 … ( a   1 + a   2 +… a   n )x-( a   1 x   1 + a   2 x   2 +…+ a   n x   n )x＞ x   n

當a₁+a₂+…+a_n＜0時，f（x）_max=max{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_min不存在；
當a₁+a₂+…+a_n＞0時，f（x）_min=min{f（x₁），f（x₂），…，f（x_n）}，f（x）_max不存在；
當a₁+a₂+…+a_n=0時，

f(x )   max =max{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}， f(x )   min =min{f( x   1 )，f( x   2 )，…，f( x   n )}.

點評：本題屬新定義題．解題的關鍵是要分析新定義的內容，然后結合現有的知識去進行求解；比如第一問、第三問；而第二第四問分別是第一第三問的推廣這要求對第一第三問分析理解透徹．