Question

已知拋物線上的任意一點到該拋物線焦點的距離比該點到軸的距離多1．

（1）求的值；
（2）如圖所示，過定點（2，0）且互相垂直的兩條直線、分別與該拋物線分別交于、、、四點．
（i）求四邊形面積的最小值；
（ii）設線段、的中點分別為、兩點，試問：直線是否過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由．

Answer 1

（1）（2）（i）四邊形面積的最小值是48（ii）

解析試題分析：（1）直接利用拋物線的定義
（2）（i）S_{四邊形ABCD}，，利用弦長
公式，以及基本不等式，二次函數在閉區間上的最值問題
的解法求解
（ii）恒過定點問題的常規解法
試題解析：
（1）由已知∴
（2）（i）由題意可設直線的方程為（），代入得
設則，
∴
    6分
同理可得                  7分
S_{四邊形ABCD}
 8分
設則∴S_{四邊形ABCD}
∵函數在上是增函數
∴S_{四邊形ABCD}，當且僅當即即時取等號
∴四邊形面積的最小值是48.   9分
（ii）由①得∴∴
∴，        11分
同理得       12分
∴直線的方程可表示為

即
當時得
∴直線過定點（4,0）.                    14分
注：第（2）中的第（i）問：
S_{四邊形ABCD}

（當且僅當時取等號）也可.
考點：本題主要考查拋物線標準方程，簡單幾何性質，直線與拋物線的位置關系，弦長公式，基本不等式，二次函數在閉區間上的最值問題等基礎知識．考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．