Question

【題目】在如圖所示的幾何體中，EA⊥平面ABCD，四邊形ABCD為等腰梯形，，且，AD＝AE＝1，∠ABC＝60°，EF=AC，且EFAC.

（Ⅰ）證明：AB⊥CF；

（Ⅱ）求二面角B﹣EF﹣D的余弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由EA⊥平面ABCD得BA⊥AE．由四邊形ABCD為等腰梯形，，且，∠ABC＝60°，得AB⊥AC，進而推出AB⊥平面ACFE．即可得AB⊥CF．

（Ⅱ）以A為坐標原點，AB，AC，AE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，求出平面BEF的一個法向量，平面DEF的一個法向量，通過向量的數量積求解二面角的余弦值即可．

（Ⅰ）由題知EA⊥平面ABCD，BA平面ABCD，∴BA⊥AE．

四邊形ABCD為等腰梯形，，且，AD＝1，所以BC=2，∠ABC＝60°，

過點A作AH⊥BC于H，在RT△ABH中，，∴AB＝1，

在△ABC中，AC2＝AB2+BC2﹣2ABBCcos60°＝3，∴AB2+AC2＝BC2，∴AB⊥AC，

且AC∩EA＝A，∴AB⊥平面ACFE．又∵CF平面ACFE，∴AB⊥CF.

（Ⅱ）以A為坐標原點，AB，AC，AE分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，

EF=AC，且EFAC，AD＝AE＝1，則，

設為平面BEF的一個法向量，則令 ，得，

設為平面DEF的一個法向量，則令，得，

∴，二面角B﹣EF﹣D的余弦值為.