Question

如圖，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面ABC為等腰直角三角形，∠ACB=90⁰，AC=1，C點到AB₁的距離為CE=，D為AB的中點.

（1）求證：AB??₁⊥平面CED；

（2）求異面直線AB₁與CD之間的距離；

（3）求二面角B₁—AC—B的平面角.

Answer 1

（Ⅰ）證明見解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

（1）∵D是AB中點，△ABC為等腰直角三角形，∠ABC=90⁰，∴CD⊥AB又AA₁⊥平面ABC，∴CD⊥AA₁.

∴CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥AB₁，又CE⊥AB₁， ∴AB₁⊥平面CDE；

（2）由CD⊥平面A₁B₁BA  ∴CD⊥DE

∵AB₁⊥平面CDE  ∴DE⊥AB₁

∴DE是異面直線AB₁與CD的公垂線段

∵CE=，AC=1 , ∴CD=

∴；

（3）連結B₁C，易證B₁C⊥AC，又BC⊥AC ,

∴∠B₁CB是二面角B₁—AC—B的平面角.

在Rt△CEA中，CE=，BC=AC=1,

∴∠B₁AC=60⁰

∴，  ∴,

∴  , ∴.