Question

設數列{a_n}的前n項和為S_n，且S_n=（m+1）-ma_n對于任意的正整數n都成立，其中m為常數，且m＜-1．
（1）求證：數列{a_n}是等比數列；
（2）設數列{a_n}的公比q=f（m），數列{b_n}滿足：，b_n=f（b_n-1）（n≥2，n∈N），求證：數列{}是等差數列，并求數列{b_nb_n+1}的前n項和．

Answer 1

解：（1）由已知S_n=（m+1）-ma_n；
S_n+1=（m+1）-ma_n+1，
相減，得：a_n+1=ma_n-ma_n+1，
即=，
所以{a_n}是等比數列
（2）當n=1時，a₁=m+1-ma₁，
則a₁=1，
從而b₁=，
由（1）知q=f（m）=，
所以b_n=f（b_n-1）=（n≥2）
∴=1+，
∴數列{}是首項為，公差為1的等差數列
∴=3+（n-1）=n+2，
故：bn= （n≥1），
∴{b_nb_n+1==；
∴數列{b_nb_n+1}的前n項和A=（-）+（-）+…+（-）=-=．
分析：（1）由S_n=（m+1）-ma_n可得S_n+1=（m+1）-ma_n+1，兩式相減整理后即可證得{a_n}是等比數列；
（2）由（1）可求得a₁，從而可得b₁，由q=f（m）=；得b_n=f（b_n-1）=；兩邊取倒數即可得到數列{}是等差數列；進而求出其通項，再利用裂項法求出數列{b_nb_n+1}的前n項和即可．
點評：本題考查數列的求和，難點在于求b_n，著重考查學生裂項法求和，屬于中檔題．